Resuelve la inecuación x − (1 − x)/6 ≤ (2x + 1)/2 − 3/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Combina el miembro izquierdo sobre el denominador 6. Distribuir el signo menos por todo el numerador es el paso que más se echa a perder:

   $x-\frac{1-x}{6}=\frac{6x-(1-x)}{6}=\frac{6x-1+x}{6}=\frac{7x-1}{6}$

2. 2

   Combina el miembro derecho sobre el denominador 4.

   $\frac{2x+1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{4x+2}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4x-1}{4}$

   La desigualdad es ahora $\dfrac{7x-1}{6}\le\dfrac{4x-1}{4}$.

3. 3

   Multiplica los dos miembros por el m.c.m. 12. Como $12>0$, el sentido de $\le$ no cambia; esta es la razón para quitar denominadores con un multiplicador positivo y no con, digamos, $-12$:

   $2(7x-1)\le 3(4x-1)\quad\Longrightarrow\quad 14x-2\le 12x-3$

4. 4

   Despeja $x$. Resta $12x$, después suma $2$ y por último divide entre el número positivo $2$:

   $2x-2\le-3\quad\Longrightarrow\quad 2x\le-1\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac{1}{2}$

5. 5

   Prueba la frontera y un punto a cada lado con fracciones exactas. En $x=-\tfrac12$ los dos miembros valen $-\tfrac34$, así que el extremo está incluido. En $x=-1$ los miembros son $-\tfrac43$ y $-\tfrac54$, y $-\tfrac43\le-\tfrac54$ se cumple. En $x=-0.49$ valen $-\tfrac{443}{600}$ y $-\tfrac{37}{50}=-\tfrac{444}{600}$, y $-\tfrac{443}{600}\le-\tfrac{444}{600}$ es falso, así que el corte está realmente en $-\tfrac12$.

6. 6

   Escribe el conjunto solución.

   $x\in\left(-\infty,\,-\tfrac{1}{2}\right]$