Si x = (raíz3 + 1)/(raíz3 - 1) e y = (raíz3 - 1)/(raíz3 + 1), hallar x + y, xy, x^2 + y^2, x^3 + y^3 y 4x^2 + 7xy + 4y^2.

Step-by-step solution

1. 1

   Racionalizar primero cada denominador: todo lo demás se vuelve trivial en cuanto los radicales salen de abajo. Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador:

   $x=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$

   $y=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$

   Nótese que $x$ e $y$ resultan ser conjugados y que $y=1/x$: las dos fracciones eran inversas desde el principio.

2. 2

   Calcular las dos cantidades simétricas básicas. Todas las expresiones restantes se construyen a partir de estas dos, así que son los únicos cálculos verdaderos del problema:

   $x+y=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$

   $xy=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$

   En ambos casos los radicales se cancelan: esa es toda la razón para trabajar con $x+y$ y $xy$ en lugar de con $x$ e $y$ por separado.

3. 3

   Obtener $x^2+y^2$ a partir del cuadrado de la suma. Desarrollando $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ y despejando,

   $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2(1)=14.$

4. 4

   Obtener $x^3+y^3$ a partir del cubo de la suma. Como $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$,

   $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=4^3-3(1)(4)=64-12=52.$

   (La factorización $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=4(14-1)=52$ da el mismo valor, una comprobación cruzada útil.)

5. 5

   Reagrupar la última expresión para que solo use cantidades ya conocidas.

   $4x^2+7xy+4y^2=4(x^2+y^2)+7xy=4(14)+7(1)=56+7=63.$

   El truco está en partir el coeficiente central: $7xy=8xy-xy$ también funcionaría, pero sacar directamente $4(x^2+y^2)$ es más corto.

6. 6

   Comprobar numéricamente. $x=2+\sqrt3\approx3.7320508$ e $y=2-\sqrt3\approx0.2679492$. Entonces $x+y\approx4.000000$, $xy\approx1.000000$, $x^3+y^3\approx51.999999$ y $4x^2+7xy+4y^2\approx63.000000$, lo que coincide con los valores exactos.