Resuelve la inecuación 6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ es menor que p.

Step-by-step solution

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   Pasa todo a un miembro y saca factor común $p$.

   $6p^5-15p^4+10p^3-p<0\quad\Rightarrow\quad p\left(6p^4-15p^3+10p^2-1\right)<0$

   Trabajar con una sola expresión comparada con cero es lo que hace posible la tabla de signos.

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   Halla las raíces racionales de la cuártica. Probando los candidatos del teorema de la raíz racional: $p=1$ da $6-15+10-1=0$, y $p=\tfrac12$ da $\tfrac38-\tfrac{15}8+\tfrac52-1=0$. Así que $(p-1)$ y $(2p-1)$ son factores. Dividiéndolos,

   $6p^4-15p^3+10p^2-1=(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)$

   (Coeficientes principales $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓ y términos independientes $(-1)(-1)(-1)=-1$ ✓.)

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   Completa la factorización y enumera los puntos críticos.

   $p(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)<0$

   El último factor tiene raíces $p=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$, es decir, $-0.26376$ y $1.26376$. Ordenadas, las cinco raíces simples son

   $-0.26376,\quad 0,\quad 0.5,\quad 1,\quad 1.26376$

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   Construye la tabla de signos probando un punto por intervalo. Sustituyendo en la inecuación original como $\text{primer miembro}-\text{segundo miembro}$:

   $p=-1:\ -30\ (<0)\quad p=-0.2:\ +0.094\quad p=0.25:\ -0.1465\ (<0)$
   $p=0.75:\ +0.1465\quad p=1.1:\ -0.0884\ (<0)\quad p=2:\ +30$

   Las cinco raíces son simples, así que el signo va alternando, y el coeficiente principal $6>0$ junto con el grado impar $5$ obliga a que la expresión sea positiva muy a la derecha, lo que fija todo el patrón.

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   Lee la solución. La expresión es negativa en tres intervalos:

   $p<\frac{3-\sqrt{21}}{6},\qquad 0<p<\frac12,\qquad 1<p<\frac{3+\sqrt{21}}{6}$

   Cuidado: una tabla de signos construida desde el extremo equivocado da exactamente el complementario de este conjunto, un error fácil de cometer y también fácil de detectar, ya que $p=2$ no debe cumplirla ($192-240+80=32$, y $32<2$ es falso), mientras que $p=0.25$ sí debe cumplirla ($0.1035<0.25$ ✓).

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   Confirma que los extremos quedan excluidos. En cada uno de los cinco puntos críticos los dos miembros son iguales, y la desigualdad es estricta, así que ninguno de $\frac{3-\sqrt{21}}{6}$, $0$, $\frac12$, $1$, $\frac{3+\sqrt{21}}{6}$ pertenece al conjunto solución.