Una curva C pasa por el origen, todo punto de C tiene abscisa mayor que −1 y, para cada punto de C, el producto de su distancia a F(1, 0) por su distancia a la recta x = a (con a < 0) vale 1. Halla a.

Step-by-step solution

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   Escribe las dos distancias en forma algebraica. Para un punto $P(x,y)$,

   $|PF|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}},\qquad \operatorname{dist}(P,\ x=a)=|x-a|$

   La curva queda por completo a la derecha de la recta vertical (sus puntos cumplen $x>-1$ mientras que $a<0$), así que $x-a>0$ y se puede quitar el valor absoluto:

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x-a)=1$

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   Usa el único punto concreto que te dan. La condición se cumple en todos los puntos de $C$, y el único punto nombrado explícitamente es el origen. Sustituir $x=0$, $y=0$ convierte la condición funcional en una sola ecuación en $a$: esa es toda la idea del problema.

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   Sustituye el origen.

   $\sqrt{(0-1)^{2}+0^{2}}\cdot(0-a)=1\quad\Longrightarrow\quad 1\cdot(-a)=1$

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   Despeja a.

   $-a=1\quad\Longrightarrow\quad a=-1$

   Esto es coherente con el requisito $a<0$ ✓.

   $\boxed{a=-1}$

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   Comprueba que se sostiene la hipótesis sobre el signo. Con $a=-1$ la recta es $x=-1$, y el enunciado afirma que todo punto de $C$ cumple $x>-1$, así que $x-a=x+1>0$ en toda la curva y quitar el valor absoluto era legítimo ✓. Por lo tanto, la ecuación de la curva es

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x+1)=1$

   y al elevar al cuadrado queda $(x+1)^{2}\left[(x-1)^{2}+y^{2}\right]=1$.

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   Verifica que el origen está en esa curva. En $(0,0)$: $(1)^{2}\left[1+0\right]=1$ ✓, así que la ecuación deducida sí pasa por $O$, lo que confirma el valor de $a$.