Dado el sistema 2x + 3y = 14 y 3x + 2y = 15, hallar x + y sin resolver el sistema.

Step-by-step solution

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   Observar la simetría de los coeficientes. Los pares de coeficientes son $(2,3)$ y $(3,2)$: los mismos dos números con los papeles intercambiados. Siempre que un sistema tiene esa simetría, sumar las ecuaciones produce coeficientes iguales en $x$ y en $y$, que es justamente la combinación $x+y$ que se busca.

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   Sumar las dos ecuaciones.

   $(2x+3y)+(3x+2y)=14+15$

   $5x+5y=29$

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   Sacar el 5 como factor común.

   $5(x+y)=29\quad\Longrightarrow\quad x+y=\frac{29}{5}$

   $\boxed{x+y=\dfrac{29}{5}=5.8}$

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   Notar el atajo gemelo. Restar las ecuaciones en vez de sumarlas da $x-y=1$, así que las dos combinaciones simétricas salen gratis. Juntas incluso resuelven el sistema: $x=\tfrac12\left(\tfrac{29}{5}+1\right)=\tfrac{17}{5}$ y $y=\tfrac{12}{5}$.

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   Comprobar. Con $x=\tfrac{17}{5}$ y $y=\tfrac{12}{5}$: $2\left(\tfrac{17}{5}\right)+3\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{34+36}{5}=\tfrac{70}{5}=14$ ✓ y $3\left(\tfrac{17}{5}\right)+2\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{51+24}{5}=\tfrac{75}{5}=15$ ✓, y en efecto $x+y=\tfrac{29}{5}$.