Divide x³ + x + 1 entre x² + 2x − 3. Da el cociente y el resto.

Step-by-step solution

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   Observa que aquí no se puede usar la división sintética. La división sintética es un atajo solo para divisores de la forma $x-c$, es decir, de grado $1$ y mónicos. El divisor $x^2+2x-3$ tiene grado $2$, así que hace falta el algoritmo general: la división larga de polinomios. Escribe el dividendo con todas las potencias presentes:

   $x^3+0\cdot x^2+x+1$

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   Divide los términos principales para obtener el primer término del cociente. Compara $x^3$ con $x^2$:

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   Multiplica todo el divisor por $x$ y resta:

   $x^3+0x^2+x+1-\left(x^3+2x^2-3x\right)=-2x^2+4x+1$

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   Repite con el nuevo término principal. Ahora compara $-2x^2$ con $x^2$:

   $\frac{-2x^2}{x^2}=-2$

   Multiplica el divisor por $-2$ y resta:

   $-2x^2+4x+1-\left(-2x^2-4x+6\right)=8x-5$

   Restar un negativo es donde se concentran los errores de signo: $4x-(-4x)=8x$ y $1-6=-5$.

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   Detente cuando el grado baje por debajo del divisor. El resto actual $8x-5$ tiene grado $1$, menor que el grado $2$ del divisor, así que el algoritmo termina:

   $\text{cociente}=x-2,\qquad \text{resto}=8x-5$

   Observa que el resto es un polinomio y no un número — eso es lo normal siempre que el divisor tiene grado $2$ o más.

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   Registra y verifica el resultado.

   $\frac{x^3+x+1}{x^2+2x-3}=x-2+\frac{8x-5}{x^2+2x-3}$

   Multiplicando de vuelta, $(x^2+2x-3)(x-2)=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=x^3-7x+6$, y $x^3-7x+6+(8x-5)=x^3+x+1\;\checkmark$.

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   Comprobación opcional factorizando el divisor. Como $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$, el resto $8x-5$ se puede probar en las raíces del divisor. En $x=1$: el dividendo da $1+1+1=3$ y el resto da $8-5=3\;\checkmark$. En $x=-3$: el dividendo da $-27-3+1=-29$ y el resto da $-24-5=-29\;\checkmark$. Dos valores coincidentes determinan por completo un resto de grado $1$.