Simplifique √(48x¹²) / √(2x) usando la regla del cociente para raíces cuadradas, suponiendo que x > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Una los dos radicales antes de simplificar cualquiera de ellos. La regla del cociente dice

   $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}\quad (A\ge 0,\ B>0),$

   y aquí da mucho menos trabajo que simplificar $\sqrt{48x^{12}}$ y $\sqrt{2x}$ por separado. La hipótesis $x>0$ es la que garantiza que los dos radicandos sean no negativos y que el denominador no se anule.

2. 2

   Divida dentro del radical único. Trate el número y las potencias por separado:

   $\frac{48}{2}=24,\qquad \frac{x^{12}}{x^{1}}=x^{11}\ \Longrightarrow\ \sqrt{\frac{48x^{12}}{2x}}=\sqrt{24x^{11}}.$

3. 3

   Separe los mayores cuadrados perfectos. Para el coeficiente, $24=4\cdot 6$ con $4=2^2$. Para la variable, la mayor potencia par por debajo de $11$ es $10$, así que $x^{11}=x^{10}\cdot x$ con $x^{10}=(x^5)^2$:

   $\sqrt{24x^{11}}=\sqrt{4\cdot 6\cdot x^{10}\cdot x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^{10}}\cdot\sqrt{6x}.$

4. 4

   Extraiga las raíces que salen. Como $x>0$, no hacen falta barras de valor absoluto:

   $2\cdot x^{5}\cdot\sqrt{6x}=2x^{5}\sqrt{6x}.$

5. 5

   Confirme que el resultado está totalmente simplificado y es correcto. Bajo el radical que queda, $6=2\cdot 3$ es libre de cuadrados y $x$ aparece a la primera potencia, así que ya no sale nada más. Numéricamente en $x=2$: $\sqrt{48\cdot 4096}/\sqrt{4}=\sqrt{196608}/2=221.7025$, y $2(32)\sqrt{12}=64(3.4641)=221.7025$. Los dos coinciden.