Resolver para x: 1/x³ − 1/(5 × 10⁻⁵)³ = 9.33020554 × 10¹⁰.

Step-by-step solution

1. 1

   Evaluar el cubo recíproco conocido. Se eleva al cubo la mantisa y se multiplica el exponente por tres:

   $\left(5\times 10^{-5}\right)^3 = 125\times 10^{-15} = 1.25\times 10^{-13} \ \Longrightarrow \ \frac{1}{1.25\times 10^{-13}} = 8\times 10^{12}$

2. 2

   Pasarlo al otro lado e igualar las potencias de diez antes de sumar.

   $\frac{1}{x^3} = 8\times 10^{12} + 9.33020554\times 10^{10}$

   Se reescribe el término mayor sobre el exponente menor:

   $8\times 10^{12} = 800\times 10^{10}$

   $\frac{1}{x^3} = (800 + 9.33020554)\times 10^{10} = 809.33020554\times 10^{10} = 8.0933020554\times 10^{12}$

3. 3

   Invertir para obtener x³.

   $x^3 = \frac{1}{8.0933020554\times 10^{12}} = 1.235590\times 10^{-13}$

4. 4

   Extraer la raíz cúbica, llevando el exponente a un múltiplo de 3.

   $x = \sqrt[3]{123.5591\times 10^{-15}} = \sqrt[3]{123.5591}\times 10^{-5} = 4.98071\times 10^{-5}$

5. 5

   No redondear esto a 5×10⁻⁵ — vale la pena ver por qué. La respuesta queda tentadoramente cerca de la constante del enunciado, pero $x = 5\times 10^{-5}$ exacto daría

   $\frac{1}{(5\times10^{-5})^3} - \frac{1}{(5\times10^{-5})^3} = 0$

   y no $9.33\times 10^{10}$. Los dos valores son distintos por construcción, y redondear hasta borrar la diferencia destruye la ecuación por completo.

6. 6

   Verificar la respuesta y entender por qué el desplazamiento es tan pequeño. Con $x = 4.98071\times 10^{-5}$:

   $\frac{1}{x^3} - 8\times 10^{12} = 9.3302\times 10^{10} \ \checkmark$

   El lado derecho es apenas el $1.17\%$ de $8\times 10^{12}$, y como $x \propto (1/x^3)^{-1/3}$, un cambio del $1.17\%$ en $1/x^3$ mueve a $x$ aproximadamente $1.17/3 \approx 0.39\%$ — de $5.0000\times10^{-5}$ baja a $4.9807\times10^{-5}$.