Resolver la ecuación x⁴ − 6x² + 8 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la cuadrática disfrazada. Solo aparecen potencias pares de $x$, y $x^4=(x^2)^2$. Tomando

   $u=x^2$

   la ecuación de cuarto grado se convierte en una cuadrática corriente; a esta forma se le llama ecuación bicuadrada.

2. 2

   Resuelve la cuadrática en $u$. Hacen falta dos números de producto $8$ y suma $-6$, a saber $-2$ y $-4$:

   $u^2-6u+8=(u-2)(u-4)=0\quad\Longrightarrow\quad u=2\ \text{o}\ u=4$

3. 3

   Deshaz el cambio y extrae raíces. Cada valor positivo de $u$ aporta dos valores de $x$:

   $x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

   Los dos valores de $u$ son positivos, y por eso las cuatro raíces son reales. Un $u$ negativo habría producido en cambio raíces imaginarias.

4. 4

   Comprueba una raíz irracional y una entera. En $x=\sqrt2$: $x^4=4$, $6x^2=12$, así que $4-12+8=0$ $\checkmark$. En $x=2$: $16-24+8=0$ $\checkmark$.

5. 5

   Confirma el recuento. Un polinomio de grado 4 tiene a lo sumo cuatro raíces, y la factorización

   $x^4-6x^2+8=(x^2-2)(x^2-4)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-2)(x+2)$

   las exhibe las cuatro, así que no falta ninguna.