Resuelve la ecuación |x| + |x − 1| = 3.

Step-by-step solution

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   Localiza los puntos de quiebre. Cada valor absoluto cambia de fórmula allí donde su interior se anula: $x=0$ para $|x|$ y $x=1$ para $|x-1|$. Esos dos puntos cortan la recta real en $x<0$, $0\le x<1$ y $x\ge 1$. Dentro de cada tramo los dos valores absolutos se pueden reemplazar por expresiones lineales simples, que es justamente el objetivo de partir el dominio.

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   Caso 1: $x<0$. Los dos interiores son negativos, así que $|x|=-x$ y $|x-1|=1-x$:

   $-x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ -2x+1=3\ \Longrightarrow\ x=-1$

   Ahora se comprueba la condición del caso: $-1<0$ ✓, así que $x=-1$ es una solución genuina.

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   Caso 2: $0\le x<1$. Aquí $|x|=x$ pero $|x-1|=1-x$:

   $x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ 1=3$

   Los términos en $x$ se cancelan y la igualdad es falsa, así que este intervalo no aporta nada. Geométricamente, $|x|+|x-1|$ es la distancia total de $x$ a $0$ y a $1$, que vale exactamente $1$ en todo punto entre ellos: nunca puede llegar a $3$.

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   Caso 3: $x\ge 1$. Los dos interiores son no negativos, así que $|x|=x$ y $|x-1|=x-1$:

   $x+(x-1)=3\ \Longrightarrow\ 2x=4\ \Longrightarrow\ x=2$

   Se comprueba la condición: $2\ge 1$ ✓, así que $x=2$ es válido.

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   Contrasta siempre cada candidato con la condición de su propio caso. Quedarse con un valor que resuelve la ecuación de un caso pero cae en otro intervalo es el error habitual aquí. Los dos valores que sobreviven pasan la prueba, y al sustituir se confirman: $|-1|+|-2|=1+2=3$ ✓ y $|2|+|1|=2+1=3$ ✓.

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   Escribe el conjunto solución. $x=-1$ o $x=2$. La interpretación como distancia explica por qué hay exactamente dos: hace falta una distancia total de $3$ al par $\{0,1\}$, y eso ocurre en un punto a cada lado del segmento.