Resuelve x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.115212 = 0.

Step-by-step solution

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   Usa los coeficientes desequilibrados para predecir el patrón de las raíces. Con $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.115212=0$, la suma de las raíces es $245.711$ y su producto es $-0.115212$. Esos dos hechos no pueden cumplirse a la vez salvo que una raíz ronde $245.7$ y las otras dos estén a unas pocas centésimas de cero, así que conviene tratar los dos regímenes por separado en lugar de recurrir a la fórmula general de la cúbica.

2. 2

   Halla las dos raíces pequeñas descartando $x^{3}$. Si $|x|$ es solo de unas centésimas, entonces $x^{3}$ es del orden de $10^{-5}$, del todo despreciable al lado de $245.711x^{2}$. Al eliminarlo queda la cuadrática $245.711x^{2}-2.764156x-0.115212=0,$ cuyo discriminante es $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.115212)=120.8759813203,\qquad \sqrt{D}=10.9943613421.$ La fórmula general da entonces $x\approx -0.016747735\quad\text{y}\quad x\approx 0.027997357.$

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   Refina esas dos con un paso de Newton. El término $x^{3}$ descartado desplaza cada raíz en la séptima cifra decimal, y aplicar el método de Newton $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ a la cúbica completa converge a $x=-0.016747308\qquad\text{y}\qquad x=0.027999354.$ Frente a las estimaciones de la cuadrática, las correcciones son de solo $4.3\times 10^{-7}$ y $2.0\times 10^{-6}$, que es exactamente lo que prometía «descartar $x^{3}$»: el término omitido era de tamaño $10^{-5}$ frente a un término $245.711x^{2}$ de tamaño $10^{-1}$.

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   Obtén la raíz grande con la suma de las raíces, no con la fórmula de la cúbica. Como las tres raíces deben sumar $245.711$, $x_{\text{grande}}=245.711-\left(-0.016747308+0.027999354\right)=245.699747954.$ Sustituir este valor en $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.115212$ devuelve cero con doce cifras significativas.

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   Verifica con las dos relaciones de Vieta. Las tres raíces $-0.016747308$, $0.027999354$ y $245.699747954$ suman exactamente $245.711000000$ y su producto es $-0.115212$, que coincide con $-c$ como se exige. La comprobación del producto es la que importa aquí: un par de raíces pequeñas puede estar mal y seguir cumpliendo la suma, porque la raíz grande simplemente absorbe la diferencia; solo el producto delata el error.

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   Enuncia el conjunto solución. $x=-0.016747308,\qquad x=0.027999354,\qquad x=245.699747954.$ Las tres raíces son reales, en coherencia con una cúbica que cruza el eje una vez justo por debajo de cero, otra justo por encima y otra muy lejos, en $245.7$.