Resuelve la ecuación 2x + 2λx + μ = 0 para x, tratando λ y μ como parámetros.

Step-by-step solution

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   Agrupa los términos en $x$ y factoriza. Tanto $2x$ como $2\lambda x$ llevan una sola potencia de $x$, así que se combinan:

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)$

   y la ecuación queda

   $2x(1+\lambda)+\mu=0$

   Esta forma es justamente la clave: el coeficiente de $x$ es ahora una única cantidad visible, $2(1+\lambda)$, y todo depende de si vale cero.

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   Resuelve el caso general $\lambda\neq -1$. Entonces $2(1+\lambda)\neq 0$ y se puede dividir:

   $2x(1+\lambda)=-\mu\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}$

   Hay exactamente una solución. Por ejemplo, $\lambda=3,\ \mu=5$ da $x=-\frac{5}{8}$, y en efecto $2(-0.625)+6(-0.625)+5=0$.

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   Trata el caso degenerado $\lambda=-1$. Ahora $1+\lambda=0$, el término en $x$ desaparece por completo y la ecuación se reduce al enunciado constante

   $\mu=0$

   Aquí no se puede dividir entre nada, así que los dos subcasos hay que leerlos directamente.

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   Separa el caso degenerado en dos. Si $\lambda=-1$ y $\mu=0$, la ecuación es $0=0$: se cumple para todo número real $x$, de modo que el conjunto solución es todo $\mathbb{R}$ — una identidad, no una ecuación con una raíz. Si $\lambda=-1$ y $\mu\neq 0$, la ecuación afirma $\mu=0$ siendo $\mu\neq 0$: una contradicción, así que el conjunto solución es vacío.

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   Resume la tricotomía. Una ecuación lineal $Ax+B=0$ siempre se separa así, y aquí $A=2(1+\lambda)$, $B=\mu$:

   $\lambda\neq-1:\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}\ \text{(única)}$

   $\lambda=-1,\ \mu=0:\quad x\in\mathbb{R}\ \text{(infinitas)}$

   $\lambda=-1,\ \mu\neq0:\quad \text{sin solución}$

   Saltarse la discusión de casos es el error habitual: dividir entre $1+\lambda$ sin comprobar que no es cero descarta en silencio las dos últimas posibilidades.