¿Cómo se convierte 3⁸ / 27⁻² en 3⁸ / 3⁻⁶, y a cuánto se simplifica la expresión?

Step-by-step solution

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   Buscar la base común. Las reglas de los exponentes solo combinan potencias de la misma base, así que lo primero es expresar $27$ como potencia de $3$:

   $27=3\times 3\times 3=3^{3}$

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   Sustituir y aplicar la regla de la potencia de una potencia. Reemplazando $27$ por $3^3$ y multiplicando los exponentes,

   $27^{-2}=\left(3^{3}\right)^{-2}=3^{3\times(-2)}=3^{-6}$

   Ese es todo el truco: $(a^m)^n=a^{mn}$, y el signo negativo simplemente viaja dentro del producto. Eso da exactamente la forma buscada $\dfrac{3^{8}}{3^{-6}}$.

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   Dividir las potencias restando los exponentes.

   $\frac{3^{8}}{3^{-6}}=3^{8-(-6)}=3^{14}$

   Restar un exponente negativo equivale a sumar, y por eso dividir entre $27^{-2}$ agranda la expresión.

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   Evaluar.

   $3^{14}=4\,782\,969$

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   Comprobar sin reescribir. De forma directa, $27^{-2}=1/27^2=1/729$, así que $\dfrac{3^8}{1/729}=6561\times 729=4\,782\,969$ — el mismo valor, lo que confirma tanto la reescritura como la aritmética.