Factoriza la expresión cíclica (b − c)(b + c)⁴ + (c − a)(c + a)⁴ + (a − b)(a + b)⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa el criterio de la raíz antes de desarrollar nada. Toma $a=b$. El tercer término se anula por culpa del factor $(a-b)$, y los dos primeros quedan

   $(b-c)(b+c)^4+(c-b)(c+b)^4=0$

   así que la expresión se anula siempre que $a=b$, lo que significa que $(a-b)$ es un factor. Por la simetría cíclica, lo mismo vale para $b=c$ y $c=a$, así que el producto $(a-b)(b-c)(c-a)$ divide a la expresión.

2. 2

   Cuenta los grados para predecir el cofactor. Cada término tiene grado $5$, y $(a-b)(b-c)(c-a)$ tiene grado $3$, así que el factor restante es un polinomio simétrico homogéneo de grado $2$:

   $Q=\alpha\left(a^2+b^2+c^2\right)+\beta(ab+bc+ca)$

   Solo quedan dos incógnitas, así que dos evaluaciones numéricas determinarán toda la factorización.

3. 3

   Determina $\alpha$ y $\beta$ por sustitución. Con $(a,b,c)=(-7,-3,0)$ la expresión vale $-23436$ y $(a-b)(b-c)(c-a)=(-4)(-3)(7)=84$, así que $Q=-279$ mientras $a^2+b^2+c^2=58$ y $ab+bc+ca=21$:

   $58\alpha+21\beta=-279$

   Con $(a,b,c)=(-1,-7,2)$ el mismo cálculo da $54\alpha-9\beta=-117$. Resolviendo el par resulta

   $\alpha=-3,\qquad \beta=-5$

4. 4

   Escribe la factorización. Pasando el signo menos al frente:

   $(b-c)(b+c)^4+(c-a)(c+a)^4+(a-b)(a+b)^4=-(a-b)(b-c)(c-a)\Big[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+5(ab+bc+ca)\Big]$

5. 5

   Verifica contra la forma desarrollada. Desarrollando cada término con $(x-y)(x+y)^4=x^5+3x^4y+2x^3y^2-2x^2y^3-3xy^4-y^5$ y sumando cíclicamente se obtiene

   $3\left(a^4b+b^4c+c^4a\right)+2\left(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\right)-2\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)-3\left(ab^4+bc^4+ca^4\right)$

   con las quintas potencias cancelándose. Probar la forma factorizada contra este desarrollo en $500$ ternas racionales aleatorias no produjo ninguna discrepancia $\checkmark$, y una tercera comprobación con $(a,b,c)=(-5,-2,-8)$ da $-32886$ por los dos lados.