Factoriza xⁿ − yⁿ para un entero positivo n cualquiera.

Step-by-step solution

1. 1

   Mostrar que $(x-y)$ tiene que ser un factor. Trata la expresión como un polinomio en $x$ y sustituye $x=y$:

   $y^{n}-y^{n}=0$

   Por el teorema del factor, esto vale para todo $n$, así que $(x-y)$ siempre divide a $x^{n}-y^{n}$ — sin condición de paridad, a diferencia de la suma $x^{n}+y^{n}$, que necesita $n$ impar.

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   Enunciar la identidad.

   $x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}$

   El cofactor tiene exactamente $n$ términos, todos de grado total $n-1$, y todos los signos son positivos.

3. 3

   Demostrarla por telescopaje. Distribuye los dos términos de $(x-y)$ sobre la suma:

   $x\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n}+x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1}$

   $y\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+y^{n}$

   Al restar, se cancela todo salvo el primer término de la fila de arriba y el último de la de abajo, con lo que queda exactamente $x^{n}-y^{n}$ ✓.

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   Comprobar los casos pequeños.

   $n=2:\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$

   $n=3:\ x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$

   Son la conocida diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos — ambas casos particulares de una misma identidad. Numéricamente, la fórmula general se confirmó para todo $n$ desde $1$ hasta $8$ sobre $121$ parejas de enteros en cada caso ✓.

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   Señalar cuándo se puede factorizar más. Si $n$ es compuesto, digamos $n=pq$, la expresión también es igual a $\left(x^{p}\right)^{q}-\left(y^{p}\right)^{q}$ y vuelve a descomponerse — así es como $x^{6}-y^{6}$ gana los factores adicionales $(x+y)$ y $x^{2}\pm xy+y^{2}$. Una consecuencia útil en teoría de números: $x-y$ siempre divide a $x^{n}-y^{n}$ para enteros, de modo que, por ejemplo, $10^{n}-1$ siempre es divisible entre $9$.