Resuelve 4.08x² − 652.85x + 10236 = 0 con la fórmula general. Da ambas raíces con tres decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica $a$, $b$ y $c$ con sus signos. Comparando con $ax^{2}+bx+c=0$:

   $a=4.08,\qquad b=-652.85,\qquad c=10236.$

   El coeficiente central es negativo; arrastrar ese signo menos a través de $-b$ es lo que hace que las dos raíces salgan positivas. Como $a>0$ y $c>0$ con $b<0$, las dos raíces (si son reales) tienen que ser positivas.

2. 2

   Calcula $b^{2}$ y $4ac$ por separado. Hacer las dos mitades del discriminante por separado deja a la vista cualquier desliz aritmético:

   $b^{2}=652.85^{2}=426213.1225,$

   $4ac=4\times 4.08\times 10236=16.32\times 10236=167051.52.$

   Ese segundo producto es el que más se multiplica mal: $16.32\times10236=163776+3275.52$, y perder el trozo $0.32\times10236=3275.52$ da un discriminante equivocado en $3275.52$ — suficiente para desplazar cada raíz unos $0.39$.

3. 3

   Forma el discriminante y extrae su raíz. Restando,

   $\Delta=426213.1225-167051.52=259161.6025,$

   $\sqrt{\Delta}=509.07917\ldots$

   Como $\Delta>0$ hay dos raíces reales distintas — coherente con el razonamiento de signos del paso 1.

4. 4

   Aplica la fórmula con $2a=8.16$. Sustituyendo,

   $x=\frac{652.85\pm 509.07917}{8.16}.$

   La rama del más: $\dfrac{1161.92917}{8.16}=142.39328$. La rama del menos: $\dfrac{143.77083}{8.16}=17.61897$.

5. 5

   Contrasta con las fórmulas de Vieta. La suma de las raíces debe valer $-b/a$ y el producto $c/a$:

   $142.39328+17.61897=160.01225=\frac{652.85}{4.08} ✓,$

   $142.39328\times 17.61897=2508.82\ldots=\frac{10236}{4.08} ✓.$

   Las dos identidades se cumplen, lo que confirma tanto la aritmética del discriminante como la división.