Usa la división sintética para dividir x³ − 4x + 5 entre x − 2, e indica el cociente y el resto.

Step-by-step solution

1. 1

   Rellena la potencia que falta antes de empezar. El dividendo no tiene término en $x^2$, así que escríbelo como

   $x^3+0\cdot x^2-4x+5\;\Longrightarrow\; 1,\;0,\;-4,\;5$

   Un polinomio cúbico siempre necesita cuatro entradas en la fila de coeficientes. Omitir el $0$ haría que la tabla calculara una división por el polinomio equivocado.

2. 2

   Predice el resto con el teorema del resto. Como el divisor es $x-2$, se tiene $c=2$, y el resto de la división debe ser igual al valor del polinomio en ese punto:

   $f(2)=2^3-4(2)+5=8-8+5=5$

   Así que se espera un resto no nulo igual a $5$, y $x-2$ no será factor.

3. 3

   Ejecuta la tabla con $c=2$.

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & 0 & -4 & 5\\ & & 2 & 4 & 0\\ \hline & 1 & 2 & 0 & 5\end{array}$

   Baja el $1$; $1\cdot 2=2$ y $0+2=2$; $2\cdot 2=4$ y $-4+4=0$; $0\cdot 2=0$ y $5+0=5$. El resto $5$ previsto aparece en la última columna.

4. 4

   Traduce la fila inferior a un cociente. Las entradas $1,\,2,\,0$ son los coeficientes de una cuadrática:

   $\text{cociente}=x^2+2x+0=x^2+2x=x(x+2),\qquad \text{resto}=5$

   El $0$ final significa que el cociente no tiene término independiente, y por eso se factoriza de forma tan limpia.

5. 5

   Escribe y comprueba la identidad de la división.

   $\frac{x^3-4x+5}{x-2}=x^2+2x+\frac{5}{x-2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^3-4x+5=(x-2)(x^2+2x)+5$

   Desarrollando el producto: $(x-2)(x^2+2x)=x^3+2x^2-2x^2-4x=x^3-4x$, y sumar $5$ restituye el dividendo $\checkmark$. Como el resto no es cero, $x=2$ no es raíz de $x^3-4x+5$.