Simplifica 9 por (m + n) al cuadrado, menos (m − n) al cuadrado.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en que ambos términos son cuadrados perfectos. Como $9=3^2$,

   $9(m+n)^2=\bigl[3(m+n)\bigr]^2=(3m+3n)^2$

   así que la expresión es $A^2-B^2$ con $A=3m+3n$ y $B=m-n$. Reconocerlo evita tener que desarrollar dos cuadrados y volver a factorizar después.

2. 2

   Aplica $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.

   $(3m+3n-(m-n))\bigl(3m+3n+(m-n)\bigr)=(2m+4n)(4m+2n)$

   El primer paréntesis invierte los dos signos de $B$: $3n-(-n)=4n$.

3. 3

   Saca los factores numéricos de cada paréntesis.

   $(2m+4n)(4m+2n)=2(m+2n)\cdot 2(2m+n)=4(m+2n)(2m+n)$

4. 4

   Contrasta desarrollando la expresión original.

   $9\left(m^2+2mn+n^2\right)-\left(m^2-2mn+n^2\right)=9m^2+18mn+9n^2-m^2+2mn-n^2$

   que se reduce a $8m^2+20mn+8n^2$. Fíjate en que los términos centrales se suman ($18mn+2mn$), porque el signo menos invierte el $-2mn$.

5. 5

   Confirma que las dos formas coinciden.

   $4(m+2n)(2m+n)=4\left(2m^2+5mn+2n^2\right)=8m^2+20mn+8n^2$ ✓

6. 6

   Comprobación numérica. En $m=2$, $n=1$: la expresión original vale $9(9)-1=80$; el desarrollo da $32+40+8=80$; la forma factorizada da $4(4)(5)=80$. Las tres coinciden.