Factoriza 21x³ − 49x² − 18x + 42 por completo y halla sus raíces.

Step-by-step solution

1. 1

   Prueba la agrupación antes de buscar raíces. Una cúbica de cuatro términos es el candidato clásico para factorizar de dos en dos. Pártela por la mitad:

   $\left(21x^{3}-49x^{2}\right)+\left(-18x+42\right).$

   Probar enteros como $x=2$ (que da $-22$) y $x=3$ (que da $114$) no encuentra nada, y por eso aquí el enfoque de buscar primero las raíces se atasca: la única raíz racional es la fracción $\tfrac73$, fácil de pasar por alto entre los muchos candidatos $\pm\frac{p}{q}$ con $p\mid42$, $q\mid21$.

2. 2

   Factoriza cada pareja. De la primera pareja saca $7x^{2}$, y de la segunda saca $-6$:

   $21x^{3}-49x^{2}=7x^{2}(3x-7),\qquad -18x+42=-6(3x-7).$

   El signo importa: sacar $-6$ y no $6$ es lo que hace que el segundo paréntesis sea $3x-7$ y no $7-3x$.

3. 3

   Extrae el binomio común. Ahora las dos partes comparten el factor $(3x-7)$:

   $7x^{2}(3x-7)-6(3x-7)=(3x-7)\left(7x^{2}-6\right).$

   Desarrollar de vuelta lo confirma: $21x^{3}-49x^{2}-18x+42$ ✓.

4. 4

   Comprueba si la cuadrática se factoriza más. Sobre los racionales, $7x^{2}-6$ es irreducible porque $\tfrac67$ no es el cuadrado de ningún racional. Sobre los reales sí se descompone:

   $7x^{2}-6=7\left(x-\sqrt{\tfrac67}\right)\left(x+\sqrt{\tfrac67}\right).$

   Así que la factorización racional completa es $(3x-7)(7x^{2}-6)$.

5. 5

   Lee las raíces y verifica. Igualando cada factor a cero:

   $x=\frac{7}{3}\approx2.3333,\qquad x=\pm\sqrt{\frac67}=\pm\frac{\sqrt{42}}{7}\approx\pm0.92582.$

   Sustituir cada una en la cúbica devuelve $0$ con un error menor que $10^{-14}$ ✓, y Vieta concuerda: las raíces suman $\tfrac73+0=\tfrac73=\tfrac{49}{21}$ ✓.