Un polinomio f(x) de grado 3 tiene ceros en -3, 10 y 6, y el coeficiente de x³ es 5. Hallar una ecuación para f(x).

Step-by-step solution

1. 1

   Convertir cada cero en un factor. El teorema del factor dice que $f(r) = 0$ exactamente cuando $(x - r)$ divide a $f(x)$. Los ceros $-3$, $10$ y $6$ aportan entonces los factores $(x+3)$, $(x-10)$ y $(x-6)$. Cuidado con el signo: el cero $-3$ da $\bigl(x-(-3)\bigr) = (x+3)$.

2. 2

   Tener en cuenta el factor de escala desconocido. Tres factores lineales ya dan grado $3$, pero no son toda la historia: cualquier múltiplo constante tiene los mismos ceros. Por eso la forma más general es

   $f(x) = a(x+3)(x-10)(x-6)$

3. 3

   Determinar $a$ con el coeficiente principal. Al desarrollar, la única forma de llegar a $x^3$ es tomar $x$ de cada factor, así que el término en $x^3$ es $a \cdot x \cdot x \cdot x = ax^3$. Igualando con el coeficiente de $x^3$ dado:

   $a = 5 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 5(x+3)(x-10)(x-6)$

4. 4

   Desarrollar hasta la forma estándar. Primero se multiplican los dos factores que se combinan de forma más limpia:

   $(x+3)(x-10) = x^2 - 7x - 30$

   Luego se multiplica por el factor restante:

   $(x^2 - 7x - 30)(x-6) = x^3 - 13x^2 + 12x + 180$

   Por último se distribuye el $5$:

   $f(x) = 5x^3 - 65x^2 + 60x + 900$

5. 5

   Comprobar que los tres ceros efectivamente se anulan. Al sustituir cada raíz en la forma estándar se obtiene $f(-3) = f(6) = f(10) = 0$, y el coeficiente de $x^3$ es $5$, como se pedía. Tanto la forma factorizada como la desarrollada son respuestas correctas: la factorizada muestra los ceros y la estándar muestra los coeficientes.