Simplifique 2 − (a − b)/(a + b) por (3 − (a + 2b)/(a + b))^(−1) por (2a + b) − 3b.

Step-by-step solution

1. 1

   Trabaje de adentro hacia afuera. El exponente $-1$ se aplica a todo el paréntesis, así que ese paréntesis hay que reducirlo a una sola fracción antes de tomar el recíproco. Nada más se puede simplificar hasta que eso esté hecho.

   $3-\frac{a+2b}{a+b}=\frac{3(a+b)-(a+2b)}{a+b}$

2. 2

   Desarrolle el numerador del paréntesis interior.

   $3(a+b)-(a+2b)=3a+3b-a-2b=2a+b$

   de modo que el paréntesis vale $\dfrac{2a+b}{a+b}$. Que aparezca aquí $2a+b$, el mismo factor que multiplica a todo el término, es la señal de que está a punto de cancelarse todo.

3. 3

   Invierta el paréntesis. Una potencia $-1$ sobre una fracción simplemente intercambia numerador y denominador:

   $\left(\frac{2a+b}{a+b}\right)^{-1}=\frac{a+b}{2a+b}$

4. 4

   Cancele el producto completo.

   $\frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2a+b}\cdot(2a+b)=a-b$

   Se cancelan de plano tanto $a+b$ como $2a+b$, así que un producto de tres factores colapsa en el único binomio $a-b$.

5. 5

   Termine la aritmética exterior.

   $2-(a-b)-3b=2-a+b-3b=2-a-2b$

   El signo menos delante del paréntesis cambia los dos signos de dentro: el último lugar donde se puede colar un error.

6. 6

   Verifique numéricamente. En $(a,b)=(3,5)$ la expresión original vale $-11$ y $2-a-2b=2-3-10=-11$ ✓. En $(a,b)=(2.2,-1.7)$ las dos dan $3.2$ ✓ (válido porque $a+b\neq0$ y $2a+b\neq0$).