Resuelve 285a + 315b + 590c = 21,806. ¿Tiene soluciones enteras y cuál es el conjunto solución real?

Step-by-step solution

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   Calcula el máximo común divisor de los coeficientes. $\gcd(285, 315) = 15$ y $\gcd(15, 590) = 5$, de modo que

   $\gcd(285, 315, 590) = 5$

   Cada término del miembro izquierdo es múltiplo de $5$, así que para cualesquiera enteros $a, b, c$ el miembro izquierdo entero es múltiplo de $5$.

2. 2

   Aplica el criterio de divisibilidad al miembro derecho. Una ecuación diofántica lineal $\sum k_i x_i = N$ tiene soluciones enteras si y solo si $\gcd(k_1,\dots,k_n)$ divide a $N$. Aquí

   $21{,}806 = 5 \times 4361 + 1$

   así que $21{,}806 \equiv 1 \pmod 5$ y la condición del m.c.d. no se cumple.

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   Concluye: no existe ninguna solución entera. Como el miembro izquierdo es $\equiv 0 \pmod 5$ y el derecho es $\equiv 1 \pmod 5$, ninguna elección de enteros puede satisfacer la ecuación. Fíjate en que aquí no se puede «dividir todo entre 5»: $\tfrac{21806}{5} = 4361.2$ no es entero, así que escribir $57a + 63b + 118c = 4361$ cambia el problema sin avisar.

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   Describe en su lugar el conjunto solución real. Sobre $\mathbb{R}$ hay una sola ecuación con tres incógnitas, así que las soluciones forman un plano en $\mathbb{R}^3$. Despejando $a$ se obtiene la parametrización

   $a = \frac{21806 - 315b - 590c}{285}, \qquad b, c \in \mathbb{R}$

   con dos parámetros libres, como corresponde a un plano.

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   Comprueba con un punto de muestra. Tomando $b = c = 0$ sale $a = \tfrac{21806}{285} = 76.5123$, y $285 \times 76.5123 = 21806.0$. Tomando $b = 10$, $c = 5$: $a = \tfrac{21806 - 3150 - 2950}{285} = \tfrac{15706}{285} = 55.1088$, y $285(55.1088) + 3150 + 2950 = 21806.0$. Ninguno de los dos valores de $a$ es entero, coherente con el obstáculo módulo 5.

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   ¿Cuándo sí existirían enteros? Si el objetivo fuera $21{,}805$ o $21{,}810$ — cualquier múltiplo de $5$ — el criterio del m.c.d. se cumpliría y habría soluciones enteras; por ejemplo, $285(1) + 315(0) + 590(36) = 21{,}525$ muestra lo cerca que llega la retícula. Es el valor concreto $21{,}806$ el que las descarta.