Resuelve (3x - 24) elevado a la cuarta por 7 al cubo igual a 2 por 7 a la cuarta.

Step-by-step solution

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   Divide los dos miembros entre la potencia común de 7. $(3x-24)^4 = \frac{2\cdot 7^4}{7^3} = 2\cdot 7^{4-3} = 2\cdot 7 = 14.$ Cancelar primero $7^3$ evita tener que calcular en ningún momento $7^4 = 2401$.

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   Pregúntate si 14 es una cuarta potencia perfecta. Las cuartas potencias de los enteros pequeños son $1, 16, 81, 256,\ldots$, y $14$ no está entre ellas. Así que ningún valor entero (de hecho, ninguno racional) de $3x-24$ sirve, y dentro de los números naturales la ecuación no tiene solución.

3. 3

   Toma raíces cuartas sobre los reales. Una raíz de índice par tiene dos ramas reales: $3x-24 = \pm\sqrt[4]{14} = \pm 1.9343364.$ Las otras dos raíces cuartas de $14$ son imaginarias puras y se descartan para una respuesta real.

4. 4

   Resuelve cada rama. $3x = 24\pm 1.9343364 \quad\Longrightarrow\quad x = 8\pm\frac{\sqrt[4]{14}}{3},$ lo que da $x \approx 8.6447788$ o $x \approx 7.3552212$.

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   Verifica una raíz. Con $x=8.6447788$, se tiene $3x-24 = 1.9343364$ y $(1.9343364)^4 = 14.0000$; multiplicando por $7^3=343$ queda $4802 = 2\cdot2401 = 2\cdot7^4$. Correcto.

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   Da la respuesta al nivel adecuado. Para un ejercicio escolar que espera números enteros, la respuesta es «no tiene solución»; sobre los reales es la pareja simétrica $8\pm\tfrac{\sqrt[4]{14}}{3}$, centrada en $x=8$ porque $3x-24 = 3(x-8)$.