Resolver x² − 3x − 10 ≥ 0 y x² − 1 ≤ 0, y hallar los valores de x que cumplen ambas.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza la primera cuadrática. Dos números de producto $-10$ y suma $-3$ son $-5$ y $+2$:

   $x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2)\ge 0$

   Puntos críticos: $x=-2$ y $x=5$.

2. 2

   Lee el primer conjunto solución en la parábola. El coeficiente principal es positivo, así que esta parábola hacia arriba queda sobre el eje o en él fuera de sus raíces (prueba con $x=0$: $-10<0$, de modo que el intervalo central no sirve):

   $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$

   Los dos extremos se incluyen porque la desigualdad no es estricta.

3. 3

   Factoriza la segunda cuadrática como diferencia de cuadrados.

   $x^{2}-1=(x-1)(x+1)\le 0$

   Puntos críticos: $x=-1$ y $x=1$.

4. 4

   Lee el segundo conjunto solución. Una parábola hacia arriba queda bajo el eje o en él entre sus raíces (prueba con $x=0$: $-1\le 0$ ✓):

   $[-1,1]$

5. 5

   Interseca los dos conjuntos. Superpónlos en una misma recta numérica: el segundo conjunto vive por completo dentro de $(-2,5)$, que es justamente el intervalo que el primero excluye. Formalmente, $[-1,1]\cap(-\infty,-2]=\varnothing$ y $[-1,1]\cap[5,\infty)=\varnothing$, así que

   $\left((-\infty,-2]\cup[5,\infty)\right)\cap[-1,1]=\varnothing$

6. 6

   Enuncia las dos respuestas. Por separado: $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ y $[-1,1]$. En conjunto: ningún $x$ real cumple ambas; el sistema es incompatible, algo que conviene comprobar siempre que se imponen dos inecuaciones cuadráticas a la vez.