Resuelve la inecuación |a − 1| < |2a|.

Step-by-step solution

1. 1

   Justifica el elevar al cuadrado. Los dos lados son valores absolutos, luego ambos son no negativos, y $t\mapsto t^2$ es estrictamente creciente en $[0,\infty)$. Por eso elevar al cuadrado es una equivalencia, no solo una implicación: no pueden aparecer soluciones extrañas:

   $(a-1)^2<(2a)^2$

   Esta es la ventaja principal frente a analizar cuatro combinaciones de signos.

2. 2

   Desarrolla y pásalo todo a un lado.

   $a^2-2a+1<4a^2\;\Longrightarrow\;0<3a^2+2a-1$

   de modo que hay que resolver $3a^2+2a-1>0$.

3. 3

   Factoriza la cuadrática. Buscando factores de $3\cdot(-1)=-3$ que sumen $2$ se obtienen $3$ y $-1$:

   $3a^2+3a-a-1=3a(a+1)-1(a+1)=(3a-1)(a+1)$

   así que los puntos críticos son $a=-1$ y $a=\tfrac13$.

4. 4

   Usa la parábola de ramas hacia arriba para leer el signo. El coeficiente principal $3$ es positivo, así que $(3a-1)(a+1)$ es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas:

   $a<-1\qquad\text{o}\qquad a>\frac{1}{3}$

5. 5

   Prueba un punto en cada una de las tres regiones. En $a=-2$: $|-3|=3<|-4|=4$ $\checkmark$. En $a=0$: $|-1|=1<|0|=0$ es falso $\checkmark$ (queda correctamente excluido). En $a=1$: $|0|=0<|2|=2$ $\checkmark$. Los extremos se excluyen porque allí los dos lados son iguales.