Resuelve la ecuación 21x^2 + 68x − 85 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la prueba ac. Con $a=21$ y $c=-85$ harían falta dos enteros cuyo producto fuera

   $ac=21\cdot(-85)=-1785$

   y cuya suma fuera $b=68$.

2. 2

   Muestra que la prueba falla de verdad. Los pares de divisores de $1785=3\cdot 5\cdot 7\cdot 17$ dan sumas con signo $\pm 1784,\pm 592,\pm 352,\pm 248,\pm 104,\pm 88,\pm 64,\pm 16$. El casi acierto es $85$ y $-21$, que suman $64$ y no $68$ — así que no existe factorización entera, y cualquier «respuesta» construida sobre ese par sería incorrecta.

3. 3

   Calcula el discriminante.

   $\Delta=68^2-4(21)(-85)=4624+7140=11764$

   Como $108^2=11664$ y $109^2=11881$, $\Delta$ no es un cuadrado perfecto, lo que confirma que las raíces son irracionales.

4. 4

   Aplica la fórmula y simplifica. $11764=4\cdot 2941$ y $2941=17\cdot 173$ es libre de cuadrados, así que $\sqrt{11764}=2\sqrt{2941}$:

   $x=\frac{-68\pm 2\sqrt{2941}}{42}=\frac{-34\pm\sqrt{2941}}{21}$

5. 5

   Comprueba numéricamente. $\sqrt{2941}\approx 54.231$, de modo que $x\approx 0.9634$ o $x\approx-4.2015$. Entonces $21(0.9634)^2+68(0.9634)-85\approx 19.49+65.51-85\approx 0$ $\checkmark$.