Divide (9 − a²)/(a² − 8a + 15) entre (2a² − 10a)/(a² − 10a + 25) y simplifica.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza cada cuadrática, atento a la diferencia de cuadrados invertida. El numerador $9-a^{2}$ es $a^{2}-9$ con el signo cambiado, así que es esencial anotar el menos:

   $9-a^{2}=-(a-3)(a+3)$

   $a^{2}-8a+15=(a-3)(a-5),\qquad 2a^{2}-10a=2a(a-5),\qquad a^{2}-10a+25=(a-5)^{2}$

2. 2

   Convierte la división en una multiplicación por el recíproco.

   $\frac{-(a-3)(a+3)}{(a-3)(a-5)}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

3. 3

   Cancela el primer par de factores. El $(a-3)$ se cancela y queda

   $\frac{-(a+3)}{a-5}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

4. 4

   Cancela los factores (a − 5). Hay dos arriba y dos abajo, así que se cancelan por completo:

   $\frac{-(a+3)}{2a}$

   $\boxed{-\dfrac{a+3}{2a}}\qquad(a\neq 0,3,5)$

5. 5

   Comprueba con un valor de prueba. En $a=1$: la expresión original es $\dfrac{8}{8}\div\dfrac{-8}{16}=1\div\left(-\tfrac12\right)=-2$, y la respuesta da $-\tfrac{4}{2}=-2$ ✓. Haber perdido el menos de $9-a^{2}$ habría producido $+2$, así que la comprobación por sustitución detecta ese error de inmediato.