Escribir 2x + x² − 1 en forma general y resolver 2x + x² − 1 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reordena hasta la forma general. La forma general lista los términos en grado decreciente, que es lo que da por supuesto todo método para cuadráticas:

   $2x+x^{2}-1=x^{2}+2x-1$

   así que $a=1$, $b=2$, $c=-1$. Reordenar no cambia nada del valor —la suma es conmutativa—, pero evita leer el $2$ como coeficiente principal.

2. 2

   Tantea la factorización entera y descártala. Harían falta dos enteros de producto $-1$ y suma $2$; la única pareja entera para $-1$ es $(1,-1)$, cuya suma es $0$. Así que no existe factorización entera y las raíces son irracionales.

3. 3

   Completa el cuadrado: más rápido que la fórmula cuando $b$ es par. La mitad de $b=2$ es $1$, de modo que

   $x^{2}+2x-1=(x+1)^{2}-1-1=(x+1)^{2}-2$

   Igualar esto a cero da $(x+1)^{2}=2$, una forma que se resuelve a simple vista.

4. 4

   Extrae la raíz cuadrada conservando ambos signos.

   $x+1=\pm\sqrt{2}\qquad\Longrightarrow\qquad x=-1\pm\sqrt{2}$

5. 5

   Contrasta con la fórmula general.

   $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\ \checkmark$

   (Usando $\sqrt{8}=2\sqrt2$ para que el $2$ se cancele.) Vieta también lo confirma: las raíces suman $-2=-b/a$ ✓ y multiplican $1-2=-1=c/a$ ✓. Numéricamente $x\approx0.4142$ y $x\approx-2.4142$, con residuos por debajo de $10^{-12}$ ✓.