Resolver el sistema x2 + 4x3 = -4, x1 + 3x2 + 3x3 = -2, 3x1 + 7x2 + 5x3 = 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe la matriz ampliada y fija el orden de las incógnitas. Con columnas para $x_1,x_2,x_3$ y los términos independientes, la primera ecuación no tiene $x_1$, así que aporta un $0$ en la posición principal: $\left[\begin{array}{ccc|c} 0&1&4&-4\\ 1&3&3&-2\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

2. 2

   Intercambia filas para que el primer pivote sea un 1. Permutar $R_1$ y $R_2$ coloca un $1$ en la esquina superior izquierda y evita fracciones más adelante: $\left[\begin{array}{ccc|c} 1&3&3&-2\\ 0&1&4&-4\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

3. 3

   Anula lo que hay debajo del primer pivote. $R_3 \leftarrow R_3-3R_1$ da $[3,7,5\mid 6]-3[1,3,3\mid -2] = [0,-2,-4\mid 12]$, así que la tercera fila pasa a ser $0,-2,-4\mid 12$. El segundo pivote ya es $1$ en $R_2$.

4. 4

   Anula lo que hay debajo del segundo pivote. $R_3 \leftarrow R_3+2R_2$ da $[0,-2,-4\mid12]+2[0,1,4\mid-4] = [0,0,4\mid4]$. Multiplicando por $\tfrac14$ queda $[0,0,1\mid1]$, es decir $x_3 = 1$ — la matriz ya está en forma escalonada por filas.

5. 5

   Retrocede anulando lo que hay encima de los pivotes. $R_2 \leftarrow R_2-4R_3$ convierte $[0,1,4\mid-4]$ en $[0,1,0\mid-8]$; $R_1 \leftarrow R_1-3R_3$ convierte $[1,3,3\mid-2]$ en $[1,3,0\mid-5]$; y por último $R_1 \leftarrow R_1-3R_2$ da $[1,0,0\mid19]$.

6. 6

   Lee la solución única y verifícala. La matriz reducida es la identidad ampliada con $(19,-8,1)$, o sea $x_1=19$, $x_2=-8$, $x_3=1$. Comprobando las tres ecuaciones originales: $-8+4(1)=-4$; $19+3(-8)+3(1)=19-24+3=-2$; $3(19)+7(-8)+5(1)=57-56+5=6$. Tres pivotes para tres incógnitas significan que la solución es única.