Resolver 152.5 · 0.5 · (x/54.9) + 152.5 · (1 − x/54.9) = 100 para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee la estructura antes de tocar el álgebra. La fracción $\frac{x}{54.9}$ es la parte del total que va a media concentración; $1-\frac{x}{54.9}$ es la parte restante a concentración plena $152.5$. Por eso la misma fracción aparece dos veces con signos opuestos: eso hace que la ecuación sea lineal en una sola incógnita, $t=\frac{x}{54.9}$.

2. 2

   Contrae el producto constante y desarrolla. Primero, $152.5\cdot 0.5=76.25$. Distribuyendo el segundo término,

   $152.5\left(1-\frac{x}{54.9}\right)=152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}$

   de manera que la ecuación queda

   $76.25\cdot\frac{x}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}=100$

3. 3

   Reúne los dos términos en $\frac{x}{54.9}$. Sus coeficientes se restan:

   $76.25-152.5=-76.25$

   y queda

   $152.5-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=100$

   La caída desde la concentración plena hasta el objetivo es exactamente la mitad del valor pleno: ese es el $-76.25$.

4. 4

   Aísla la fracción. Resta $152.5$ y divide entre $-76.25$:

   $-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=-52.5\quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{54.9}=\frac{52.5}{76.25}$

5. 5

   Simplifica la razón a una fracción en vez de redondear. Multiplica numerador y denominador por $100$ y divide entre $125$:

   $\frac{52.5}{76.25}=\frac{5250}{7625}=\frac{42}{61}$

   Aquí es donde el problema resulta más bonito de lo que aparenta: $549=9\cdot 61$, así que

   $x=54.9\cdot\frac{42}{61}=\frac{549}{10}\cdot\frac{42}{61}=\frac{9\cdot 42}{10}=\frac{378}{10}$

6. 6

   Enuncia la respuesta exacta y compruébala. Es decir, $x=37.8$ exactamente: el decimal es finito, no un valor redondeado. Sustituyendo hacia atrás:

   $76.25\cdot\frac{37.8}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{37.8}{54.9}=152.5-76.25\cdot\frac{42}{61}=152.5-52.5=100\ \checkmark$