Desarrolla y simplifica (p − 1)(q − 1) + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla primero el producto y ocúpate después del término suelto. El $+1$ está fuera de los paréntesis, así que no debe meterse dentro hasta que la multiplicación esté terminada. La jerarquía de operaciones pone el producto antes de la suma.

2. 2

   Multiplica los dos binomios. Cada término del primer paréntesis se encuentra con cada término del segundo: cuatro productos en total:

   $(p-1)(q-1)=p\cdot q+p\cdot(-1)+(-1)\cdot q+(-1)(-1)=pq-p-q+1$

   El $+1$ final viene de $(-1)(-1)$; un negativo por un negativo es positivo.

3. 3

   Observa que no se agrupa ningún término. $p$ y $q$ son variables distintas, así que $-p$ y $-q$ no son términos semejantes y no se pueden fusionar en $-2p$ ni en $-pq$. El desarrollo tiene cuatro términos distintos.

4. 4

   Suma el 1 de fuera.

   $pq-p-q+1+1=pq-p-q+2$

   Las dos constantes se suman en lugar de cancelarse, que es la única sutileza real del problema.

5. 5

   Verifica con sustituciones aleatorias. Al comparar la expresión original con $pq-p-q+2$ en $50$ pares aleatorios $(p,q)$ tomados de $[-8,8]$, hay concordancia hasta la precisión de la máquina en todos los puntos ✓. Comprobación puntual en $p=4,q=7$: $(3)(6)+1=19$, y $28-4-7+2=19$ ✓.