Resuelve la inecuación x² · x − 5 > 0.

Step-by-step solution

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   Simplifica primero la expresión. Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes: $x^2\cdot x=x^{2+1}=x^3$. Así que la inecuación es cúbica, no cuadrática:

   $x^3-5>0$

   Leer mal $x^2x$ como $x^2$ o como $2x^2$ cambia por completo el problema.

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   Aísla el término cúbico. Suma $5$ en ambos miembros:

   $x^3>5$

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   Extrae la raíz cúbica en ambos miembros. Aquí es donde los cubos se apartan de forma crucial de los cuadrados: la función $t\mapsto t^3$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ e inyectiva, así que la raíz cúbica conserva el sentido de la desigualdad y no exige ningún $\pm$ ni separar casos:

   $x>\sqrt[3]{5}$

   En cambio, $x^2>5$ daría la respuesta en dos partes $x>\sqrt5$ o $x<-\sqrt5$.

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   Evalúa la cota.

   $\sqrt[3]{5}=1.709976\ldots\approx1.71$

   Una comprobación rápida del orden de magnitud: $1.7^3=4.913$ (justo por debajo de $5$) y $1.71^3=5.000211$ (justo por encima), así que la raíz queda entre ambos ✓.

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   Escribe el conjunto solución. Una única semirrecta, abierta por la izquierda porque la desigualdad es estricta:

   $x>\sqrt[3]{5},\qquad\left(\sqrt[3]{5},\ \infty\right)$

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   Verifica con un barrido. Evaluar $x^3-5$ en $10{,}001$ puntos entre $-5$ y $5$ y comparar el signo con $x>\sqrt[3]{5}$ da coincidencia en todos los puntos ✓ — incluidos los negativos, donde la cúbica es muy negativa y queda correctamente excluida.