Dividir 2x² − 1 entre 2x + 1. Dar el cociente y el resto.

Step-by-step solution

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   Insertar el término que falta. La división larga se alinea por grados, así que el dividendo se escribe con todas las potencias presentes: $2x^2-1=2x^2+0x-1.$ Omitir esto es, por sí solo, la causa más frecuente de errores de signo.

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   Dividir los términos principales. $\dfrac{2x^2}{2x}=x$, así que el primer término del cociente es $x$. Se multiplica de vuelta: $x(2x+1)=2x^2+x$, y se resta: $(2x^2+0x-1)-(2x^2+x)=-x-1.$

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   Repetir con el nuevo resto. $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$. Como el divisor no es mónico, el cociente recoge una fracción; eso es lo esperado, no un error. Se multiplica de vuelta: $-\tfrac12(2x+1)=-x-\tfrac12$.

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   Restar otra vez y detenerse. $(-x-1)-\left(-x-\frac12\right)=-\frac12.$ El grado de $-\tfrac12$ es menor que el grado de $2x+1$, de modo que la división termina.

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   Comprobar con la identidad de la división. $\left(x-\frac12\right)(2x+1)+\left(-\frac12\right)=2x^2+x-x-\frac12-\frac12=2x^2-1,$ que es el dividendo original.