Resuelve 1/(x - 2) + 2/(x + 2) = 3/(x² - 4) para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza el denominador del lado derecho y anota los valores excluidos. Como $x^2-4=(x-2)(x+2)$, los tres denominadores están formados por los mismos dos factores, y el mínimo común denominador es $(x-2)(x+2)$. Los valores $x=2$ y $x=-2$ anulan un denominador, así que nunca pueden ser soluciones: al final hay que contrastar cualquier resultado con ellos.

2. 2

   Combina las dos fracciones de la izquierda. Reescribe cada una con el común denominador:

   $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)+2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

3. 3

   Simplifica el numerador.

   $(x+2)+2(x-2)=x+2+2x-4=3x-2$

   de modo que la ecuación queda

   $\frac{3x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{3}{(x-2)(x+2)}$

4. 4

   Iguala los numeradores. Los denominadores son idénticos y no nulos para cualquier $x$ admisible, así que las fracciones son iguales exactamente cuando lo son sus numeradores:

   $3x-2=3\quad\Rightarrow\quad 3x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}$

5. 5

   Comprueba frente a los valores excluidos y por sustitución. $\frac53\neq 2$ y $\frac53\neq -2$, así que la raíz es admisible. Sustituyendo: el lado izquierdo vale $\frac{1}{5/3-2}+\frac{2}{5/3+2}=-3+\frac{6}{11}=-\frac{27}{11}$, y el lado derecho vale $\frac{3}{25/9-4}=\frac{3}{-11/9}=-\frac{27}{11}$. Coinciden, así que $x=\frac53$.