Resuelve la ecuación |x| + |x − 1| = 1.

Step-by-step solution

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   Lee el miembro izquierdo como una distancia total. $|x|$ es la distancia de $x$ a $0$ y $|x-1|$ es la distancia de $x$ a $1$. La ecuación pide los puntos cuyas distancias a $0$ y a $1$ suman $1$ — y $1$ es exactamente la separación entre esos dos puntos.

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   Reparte el problema en tres casos. Los puntos críticos $0$ y $1$ dividen la recta en tres regiones.

   Caso $x<0$: $|x|=-x$ y $|x-1|=1-x$, de modo que la ecuación queda $-x+1-x=1$, es decir $-2x=0$, que da $x=0$ — lo cual contradice $x<0$. Aquí no hay solución.

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   Caso 0 ≤ x ≤ 1. Aquí $|x|=x$ y $|x-1|=1-x$, así que

   $x+(1-x)=1$

   Esto es una identidad: cierta para todo $x$ del intervalo. Por lo tanto, todo $[0,1]$ resuelve la ecuación.

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   Caso x > 1. Aquí $|x|=x$ y $|x-1|=x-1$, así que $x+x-1=1$, es decir $2x=2$ y $x=1$ — lo cual contradice $x>1$. Tampoco hay solución aquí.

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   Reúne el conjunto solución.

   $\boxed{0\le x\le 1,\ \text{es decir }x\in[0,1]}$

   La respuesta es un intervalo, no una lista finita — un punto que conviene subrayar, ya que de las ecuaciones con valor absoluto suele esperarse que tengan soluciones aisladas.

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   Comprueba los extremos y un punto interior. En $x=0$: $0+1=1$ ✓. En $x=1$: $1+0=1$ ✓. En $x=0.3$: $0.3+0.7=1$ ✓. Fuera: en $x=2$, $2+1=3\neq 1$ ✗; en $x=-1$, $1+2=3\neq 1$ ✗. Esto concuerda además con la desigualdad triangular $|x|+|x-1|\ge|x-(x-1)|=1$, con igualdad exactamente en $[0,1]$.