Resuelva la inecuación (2x − 1)/3 − 4/(x + 2) > (x − 3)/6 + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Anote el dominio y el plan. $x+2 \neq 0$, de modo que $x \neq -2$. Como la variable aparece en un denominador, el único método seguro es pasar todo a un lado y hacer la tabla de signos de un solo cociente, no multiplicar de lado a lado.

2. 2

   Combine las tres piezas polinómicas sobre el denominador 6. Dejando de lado por un momento el término $\tfrac{4}{x+2}$, $\frac{2x-1}{3}-\frac{x-3}{6}-1 = \frac{2(2x-1)-(x-3)-6}{6} = \frac{4x-2-x+3-6}{6} = \frac{3x-5}{6}.$

3. 3

   Reduzca la inecuación a una sola fracción. Ahora queda $\dfrac{3x-5}{6}-\dfrac{4}{x+2}>0$. Usando el común denominador $6(x+2)$: $\frac{(3x-5)(x+2)-24}{6(x+2)} > 0.$ Desarrollando el numerador: $3x^2+6x-5x-10-24 = 3x^2+x-34$, y como $6>0$ se puede descartar: $\frac{3x^2+x-34}{x+2} > 0.$

4. 4

   Encuentre las raíces del numerador. $3x^2+x-34$ no admite factorización con enteros (el par tendría que tener producto $-102$ y suma $1$), así que aplique la fórmula general: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+408}}{6} = \frac{-1\pm\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373 \ \text{y}\ 3.2040.$

5. 5

   Arme la tabla de signos con los tres valores críticos. En orden: $\tfrac{-1-\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373$, luego $-2$, y después $\tfrac{-1+\sqrt{409}}{6} \approx 3.2040$. La parábola abierta hacia arriba es positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas, mientras que $x+2$ cambia de signo en $-2$. Eso da los signos $-,\,+,\,-,\,+$ en los cuatro intervalos.

6. 6

   Lea los dos intervalos positivos y compruebe. $x \in \left(\frac{-1-\sqrt{409}}{6},\ -2\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{409}}{6},\ \infty\right).$ Sustituyendo en la inecuación original: $x=-3$ da izquierda menos derecha $=+1.667>0$ (dentro), $x=-1$ da $-5.333$ (fuera), $x=3$ da $-0.133$ (fuera, justo por debajo de la frontera $3.2040$), y $x=3.5$ da $+0.189$ (dentro). Todos los extremos quedan excluidos, porque la desigualdad es estricta y $x=-2$ está fuera del dominio.