Simplifique a e^(−4i) + b e^(4i) a la forma trigonométrica usando la fórmula de Euler.

Step-by-step solution

1. 1

   Enuncie la fórmula de Euler y note que $4$ está en radianes.

   $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

   Aquí $\theta=\pm4$ radianes: un número fijo, no una variable, así que $\cos 4$ y $\sin 4$ son simplemente constantes ($\cos4=-0.6536$, $\sin4=-0.7568$).

2. 2

   Desarrolle cada exponencial. Usando $\cos(-\theta)=\cos\theta$ y $\sin(-\theta)=-\sin\theta$:

   $e^{-4i}=\cos 4-i\sin 4,\qquad e^{4i}=\cos 4+i\sin 4$

   Las dos comparten el mismo coseno pero tienen senos opuestos: esa asimetría es la que produce el $b-a$ de más abajo.

3. 3

   Sustituya y distribuya los coeficientes.

   $a\,e^{-4i}+b\,e^{4i}=a(\cos 4-i\sin 4)+b(\cos 4+i\sin 4)$

4. 4

   Agrupe la parte real y la parte imaginaria. Reuniendo por separado los términos en $\cos 4$ y los términos en $\sin 4$:

   $=(a+b)\cos 4+i\,(b-a)\sin 4$

   De modo que la parte real lleva la suma $a+b$ y la parte imaginaria lleva la diferencia $b-a$; atención al orden, es $b$ menos $a$.

5. 5

   Compruebe los dos casos particulares. Si $b=a$ la parte imaginaria se anula y el resultado es $2a\cos4$, que coincide con $a(e^{4i}+e^{-4i})=2a\cos4$ ✓. Si $b=-a$ se anula la parte real y queda $-2ai\sin4$, que coincide con $a(e^{-4i}-e^{4i})=-2ai\sin4$ ✓.

6. 6

   Verifique numéricamente. Con $a=1.3$, $b=-0.7$: la evaluación directa da $-0.392186+1.513605i$, y $(a+b)\cos4+i(b-a)\sin4=0.6(-0.65364)+i(-2)(-0.75680)=-0.392186+1.513605i$ ✓.