Halla la inversa de la función inyectiva t(x) = 3·√(x + 6) e indica el dominio de la inversa.

Step-by-step solution

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   Anota el dominio y el recorrido de la función original. El radicando tiene que ser no negativo, así que $x+6\ge0$ da el dominio $x\ge-6$; y como $\sqrt{\ }$ devuelve valores no negativos, el recorrido es $t(x)\ge0$. Estos dos hechos se convertirán, respectivamente, en el recorrido y el dominio de la inversa, y por eso conviene escribirlos primero.

2. 2

   Haz $y=t(x)$ e intercambia las variables. Escribiendo $y=3\sqrt{x+6}$ e intercambiando $x$ e $y$:

   $x=3\sqrt{y+6}.$

   El intercambio es lo que codifica «invertir la entrada y la salida»; despejar después $y$ produce la regla de la inversa.

3. 3

   Aísla el radical antes de elevar al cuadrado. Divide primero entre $3$:

   $\frac{x}{3}=\sqrt{y+6}.$

   Elevar al cuadrado con el $3$ todavía fuera daría $x^{2}=9(y+6)$ —aquí la misma respuesta—, pero la costumbre de aislar primero el radical evita errores cuando el coeficiente se suma en lugar de multiplicar.

4. 4

   Eleva al cuadrado y despeja $y$. Elevando al cuadrado ambos miembros:

   $\frac{x^{2}}{9}=y+6\;\Longrightarrow\;y=\frac{x^{2}}{9}-6.$

   Así que la regla de la inversa es $t^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{9}-6$.

5. 5

   Añade la restricción del dominio: es parte de la respuesta. La parábola $\frac{x^{2}}{9}-6$ no es inyectiva en todo $\mathbb{R}$; solo cuenta la rama que coincide con el recorrido de $t$:

   $t^{-1}(x)=\frac{x^{2}}{9}-6,\qquad x\ge0.$

   Comprueba las dos composiciones: $t\!\left(t^{-1}(4.2)\right)=4.2$ ✓ y $t^{-1}\!\left(t(3.3)\right)=3.3$ ✓. Sin la restricción, $t^{-1}(-3)=-5$ afirmaría erróneamente que $t(-5)=-3$, cuando en realidad $t(-5)=3$.