Resuelve la ecuación de cuarto grado u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea una descomposición desconocida en dos cuadráticas. En lugar de ir cazando una raíz a la vez, supón que la cuártica se parte en dos cuadráticas mónicas con coeficientes enteros:

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 + au + b\right)\left(u^2 + cu + d\right)$

   Vale la pena intentarlo primero porque una descomposición exitosa entrega las cuatro raíces de una sola vez.

2. 2

   Desarrolla e iguala coeficientes. Al multiplicar el lado derecho:

   $u^4 + (a+c)u^3 + (ac+b+d)u^2 + (ad+bc)u + bd$

   así que las cuatro incógnitas cumplen

   $a + c = -6, \quad ac + b + d = 8, \quad ad + bc = 6, \quad bd = -9$

3. 3

   Explora las pocas posibilidades enteras para b y d. Como $bd = -9$, las parejas candidatas son $(\pm1, \mp9)$, $(\pm3, \mp3)$ y $(\pm9, \mp1)$. Probar con $b = -1$, $d = 9$ hace que la segunda ecuación colapse:

   $ac - 1 + 9 = 8 \quad \Longrightarrow \quad ac = 0$

   Así que uno de $a, c$ es cero — una simplificación enorme, y la razón por la que conviene probar esta pareja primero.

4. 4

   Termina de resolver los coeficientes y verifica las cuatro ecuaciones. Con $ac = 0$ toma $a = 0$, de donde $c = -6$. Entonces

   $ad + bc = 0 \cdot 9 + (-1)(-6) = 6 \ \checkmark$

   Las cuatro condiciones se cumplen, de modo que

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 - 1\right)\left(u^2 - 6u + 9\right)$

   Al desarrollar de vuelta se obtiene $u^4 - 6u^3 + 9u^2 - u^2 + 6u - 9$, que es el polinomio original.

5. 5

   Factoriza por completo cada cuadrática. Una es una diferencia de cuadrados y la otra un cuadrado perfecto:

   $u^2 - 1 = (u-1)(u+1), \qquad u^2 - 6u + 9 = (u-3)^2$

   $\Longrightarrow \quad (u-1)(u+1)(u-3)^2 = 0$

6. 6

   Lee las raíces y sus multiplicidades.

   $u = 1, \qquad u = -1, \qquad u = 3 \ \text{(raíz doble)}$

   Sustituir confirma cada una: $u=1$ da $1-6+8+6-9=0$, $u=-1$ da $1+6+8-6-9=0$ y $u=3$ da $81-162+72+18-9=0$. Como $u = 3$ tiene multiplicidad dos, la gráfica toca el eje $u$ allí sin cruzarlo, y las cuatro raíces contadas con multiplicidad suman $1 - 1 + 3 + 3 = 6$, que coincide con $-(-6)/1$.