Resolver el sistema: √2 x + √3 y = 3√2 y √3 x − √2 y = 2√3.

Step-by-step solution

1. 1

   Elegir la eliminación en lugar de la sustitución. Despejar una variable en cualquiera de las dos ecuaciones metería radicales en el denominador de inmediato. La eliminación es más limpia porque los coeficientes de $y$, $\sqrt3$ y $-\sqrt2$, multiplican hasta el mismo $\sqrt6$.

2. 2

   Multiplicar la primera ecuación por $\sqrt2$. $\sqrt2\left(\sqrt2\,x+\sqrt3\,y\right)=\sqrt2\cdot 3\sqrt2\ \Longrightarrow\ 2x+\sqrt6\,y=6.$

3. 3

   Multiplicar la segunda ecuación por $\sqrt3$. $\sqrt3\left(\sqrt3\,x-\sqrt2\,y\right)=\sqrt3\cdot 2\sqrt3\ \Longrightarrow\ 3x-\sqrt6\,y=6.$

4. 4

   Sumar para eliminar $y$. Los términos $\sqrt6\,y$ se cancelan exactamente: $5x=12\ \Longrightarrow\ x=\frac{12}{5}.$

5. 5

   Sustituir hacia atrás y racionalizar. De la primera ecuación original, $\sqrt3\,y=3\sqrt2-\frac{12\sqrt2}{5}=\frac{3\sqrt2}{5}\ \Longrightarrow\ y=\frac{3\sqrt2}{5\sqrt3}=\frac{3\sqrt6}{15}=\frac{\sqrt6}{5}.$

6. 6

   Comprobar numéricamente las dos ecuaciones. Con $x=2.4$ y $y=0.4898979$: el primer lado izquierdo vale $4.2426407=3\sqrt2$, y el segundo $3.4641016=2\sqrt3$. Las dos se cumplen.