Resuelve (2x − 3)² − (x − 1)² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la estructura de diferencia de cuadrados. Los dos términos ya son cuadrados perfectos de expresiones lineales, así que

   $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \qquad \text{con } A = 2x - 3, \ B = x - 1$

   No hace falta desarrollar nada; la ecuación se factoriza de inmediato.

2. 2

   Forma el primer factor, repartiendo el signo menos.

   $A - B = (2x - 3) - (x - 1) = 2x - 3 - x + 1 = x - 2$

   Restar $-1$ se convierte en $+1$; dejar escapar ese cambio de signo es el error habitual y daría $x - 4$ en su lugar.

3. 3

   Forma el segundo factor.

   $A + B = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$

   Así que la ecuación queda

   $(x - 2)(3x - 4) = 0$

4. 4

   Resuelve cada factor lineal.

   $x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2, \qquad 3x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{3}$

5. 5

   Verifica las dos. En $x = 2$: $(4-3)^2 - (2-1)^2 = 1 - 1 = 0 \ \checkmark$. En $x = \tfrac43$: $\left(\tfrac83 - 3\right)^2 - \left(\tfrac43 - 1\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0 \ \checkmark$. Geométricamente, $(2x-3)^2 = (x-1)^2$ significa $|2x-3| = |x-1|$, y las dos raíces son exactamente los casos $2x - 3 = x - 1$ y $2x - 3 = -(x-1)$.