Dado z⁴ + 2x²z² + 2y²z² − 8z = 0, expresar z como función de x e y.

Step-by-step solution

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   Sacar como factor común la $z$. Todos los términos contienen al menos una $z$:

   $z\left(z^{3}+2x^{2}z+2y^{2}z-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}+2\left(x^{2}+y^{2}\right)z-8\right)=0$

   así que $z=0$ es una rama, válida para todo $(x,y)$, y el resto del trabajo se centra en el factor cúbico.

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   Introducir el radio polar para dejar a la vista la estructura. Las variables entran solo a través de $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, así que la superficie es de revolución alrededor del eje $z$ y la cúbica es

   $z^{3}+2r^{2}z-8=0$

   Esta ya es una cúbica reducida $z^{3}+pz+q=0$ (sin término en $z^{2}$) con $p=2r^{2}$ y $q=-8$, que es exactamente la forma que trata la fórmula de Cardano.

3. 3

   Comprobar cuántas raíces reales hay. La condición del discriminante de la cúbica usa

   $\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=16+\frac{8r^{6}}{27}$

   que es positiva para todo $r$, ya que ambos términos son no negativos y el primero vale $16$. Un valor positivo aquí significa exactamente una raíz real y dos complejas, así que la rama no nula es univaluada: no hace falta ningún análisis por casos.

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   Aplicar la fórmula de Cardano. Con $-\dfrac{q}{2}=4$,

   $z=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}$

   La segunda raíz cúbica recibe un argumento negativo (porque la raíz cuadrada supera a 4), lo cual no supone ningún problema para las raíces cúbicas reales.

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   Escribir la respuesta en las variables originales.

   $f(x,y)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}$

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   Comprobación de sensatez en el origen. En $x=y=0$ la cúbica es $z^{3}=8$, que da $z=2$; la fórmula da $\sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{4-4}=2+0=2$ ✓. Cuando $r\to\infty$ las dos raíces cúbicas casi se cancelan y $z\to 0^{+}$, en concordancia con la cúbica $2r^{2}z\approx 8$, es decir $z\approx 4/r^{2}$ ✓.