Resuelve 0.2 · 0.2 · x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0 para los valores reales de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplificar el coeficiente y quitar el decimal. Como $0.2\times 0.2=0.04$, la ecuación es $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4=0$. Multiplicando todo por $25$ se obtienen coeficientes enteros:

   $x^{6}+25x^{4}+25x^{2}-100=0$

2. 2

   Sustituir para bajar el grado. Solo aparecen potencias pares de $x$, así que se toma $y=x^{2}$ (de donde $x^{6}=y^{3}$, $x^{4}=y^{2}$):

   $y^{3}+25y^{2}+25y-100=0$

   Es decisivo que $y=x^{2}\ge 0$, así que solo las raíces $y$ no negativas pueden producir un $x$ real.

3. 3

   Descartar las raíces racionales. Por el teorema de la raíz racional los candidatos son los divisores de $100$: $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$. Al sustituir cada uno se obtiene un valor no nulo, así que la cúbica no se factoriza sobre los racionales y la raíz debe hallarse numéricamente.

4. 4

   Acotar la raíz positiva. Sea $g(y)=y^{3}+25y^{2}+25y-100$. Entonces

   $g(1)=1+25+25-100=-49<0,\qquad g(2)=8+100+50-100=58>0$

   así que por el teorema del valor intermedio hay una raíz en $(1,2)$. Como $g'(y)=3y^{2}+50y+25>0$ para $y>0$, allí $g$ es estrictamente creciente y esa raíz es la única no negativa.

5. 5

   Refinar con el método de Newton. Iterando $y\leftarrow y-\dfrac{g(y)}{g'(y)}$ desde $y_{0}=1.5$ se converge a

   $y\approx 1.526734392725$

   (Las otras dos raíces de la cúbica, $y\approx -2.75539$ y $y\approx -23.77135$, son negativas y no dan ningún $x$ real.)

6. 6

   Deshacer la sustitución y comprobar. De $x^{2}=y$,

   $x=\pm\sqrt{1.526734392725}\approx\pm 1.235610939060$

   Sustituyendo $x=1.235610939060$ de vuelta en $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4$ se obtiene $0$ con precisión de máquina. La ecuación es par, así que las dos raíces son simétricas respecto al origen.