Simplifica la raíz cuadrada de (20 x² y²) / z⁵.

Step-by-step solution

1. 1

   Descompón cada factor en un cuadrado perfecto por un resto.

   $20=4\cdot 5,\qquad z^5=z^4\cdot z$

   de modo que el radicando queda

   $\frac{4\cdot 5\cdot x^2y^2}{z^4\cdot z}$

2. 2

   Extrae las raíces de los cuadrados perfectos, usando valores absolutos donde haga falta. $\sqrt{u^2}=|u|$, no $u$:

   $\sqrt4=2,\quad\sqrt{x^2}=|x|,\quad\sqrt{y^2}=|y|,\quad\sqrt{z^4}=z^2$

   En $z^2$ no hacen falta barras porque ya es no negativo. El resultado hasta aquí:

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}$

3. 3

   Anota el dominio. La expresión original exige $z>0$ (hay una potencia impar de $z$ en el denominador bajo una raíz cuadrada), y por eso la propia $z$ no necesita valor absoluto.

4. 4

   Racionaliza el denominador. Multiplica numerador y denominador por $\sqrt z$:

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}\cdot\frac{\sqrt z}{\sqrt z}=\frac{2|xy|\sqrt{5z}}{z^3}$

   ya que $\sqrt5\cdot\sqrt z=\sqrt{5z}$ y $z^2\cdot z=z^3$.

5. 5

   Verifica numéricamente. Toma $x=2$, $y=3$, $z=4$: el radicando es $\tfrac{20\cdot 4\cdot 9}{1024}=0.703125$, cuya raíz vale $0.83853$. La forma simplificada da $\tfrac{2\cdot 6\sqrt{20}}{64}=\tfrac{12\cdot 4.47214}{64}=0.83853$ $\checkmark$. Si se supone que todas las variables son positivas, la respuesta puede escribirse $\tfrac{2xy\sqrt{5z}}{z^3}$.