Resuelve la raíz cuadrada de (4x al cuadrado − 8x + 4) igual a 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza el radicando antes de elevar al cuadrado. $4x^2-8x+4 = 4\left(x^2-2x+1\right) = 4(x-1)^2.$ Reconocer el cuadrado perfecto convierte el problema en una ecuación con valor absoluto de una sola línea.

2. 2

   Simplifica el radical usando |a| y no a. $\sqrt{4(x-1)^2} = 2\left|x-1\right|$: el valor absoluto es imprescindible, porque $\sqrt{t^2}=|t|$ y no $t$. Así que la ecuación es $2|x-1| = 5.$

3. 3

   Aísla el valor absoluto. $|x-1| = \frac52.$

4. 4

   Sepáralo en los dos casos. $x-1 = \frac52 \quad\text{o}\quad x-1 = -\frac52,$ lo que da $x = \frac72 \quad\text{o}\quad x = -\frac32.$

5. 5

   Verifica las dos. En $x=\tfrac72$: $4(12.25)-8(3.5)+4 = 49-28+4 = 25$ y $\sqrt{25}=5$. En $x=-\tfrac32$: $4(2.25)+12+4 = 9+12+4 = 25$ y $\sqrt{25}=5$. Las dos son auténticas.

6. 6

   Observa lo que costaría suprimir el valor absoluto. Escribir $\sqrt{4(x-1)^2} = 2(x-1)$ daría solo $x=\tfrac72$ y perdería en silencio la solución negativa.