Resuelve la inecuación 1/(2^x + 21) ≤ 3/(2^(x+2) − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye para convertirla en una inecuación racional. Cada aparición de $x$ está en un exponente de base $2$, así que toma $t=2^x$ con $t>0$. Como $2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4t$, la inecuación se vuelve $\frac{1}{t+21}\le\frac{3}{4t-1}$: una inecuación racional corriente en $t$.

2. 2

   Pasa todo a un solo miembro en vez de multiplicar en cruz. Multiplicar en cruz aquí no es seguro: $4t-1$ cambia de signo en $t=\tfrac14$, y multiplicar por una cantidad negativa invertiría la desigualdad. Escribe $\frac{1}{t+21}-\frac{3}{4t-1}\le 0$ y junta sobre el común denominador: $\frac{(4t-1)-3(t+21)}{(t+21)(4t-1)}\le 0$.

3. 3

   Simplifica el numerador. $(4t-1)-3(t+21)=4t-1-3t-63=t-64$, así que la inecuación queda $\frac{t-64}{(t+21)(4t-1)}\le 0$.

4. 4

   Descarta el factor que nunca cambia de signo. Como $t=2^x>0$, el factor $t+21>21>0$ siempre. Dividir entre una cantidad positiva conserva el sentido de la desigualdad, y queda $\frac{t-64}{4t-1}\le 0$.

5. 5

   Construye la tabla de signos en $t$. Los valores críticos son $t=64$ (numerador cero) y $t=\tfrac14$ (denominador cero, excluido). El cociente es negativo exactamente entre ambos, así que $\tfrac14<t\le 64$; el $t=64$ se conserva porque la desigualdad no es estricta, y el $t=\tfrac14$ no, porque ahí la fracción no está definida.

6. 6

   Vuelve a $x$. Escribe las cotas como potencias de $2$: $2^{-2}<2^x\le 2^6$. La función $2^x$ es estrictamente creciente, así que los exponentes cumplen el mismo orden y $-2<x\le 6$.

7. 7

   Comprueba los dos extremos. En $x=6$: $\frac{1}{64+21}=\frac{1}{85}$ y $\frac{3}{256-1}=\frac{3}{255}=\frac{1}{85}$, así que se cumple la igualdad y $x=6$ pertenece a la solución. En $x=-2$: $2^{x+2}-1=2^0-1=0$, así que el miembro derecho no está definido y hay que excluir $x=-2$.