Un teatro había vendido boletos de adulto y de niño en la razón 9 : 4. El día de la función vendió 20 boletos de adulto más y ningún boleto de niño más, y la razón pasó a ser 8 : 3. ¿Cuántos boletos de cada tipo se habían vendido antes y cuántos boletos de adulto se vendieron en total?

Step-by-step solution

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   Convertir la primera razón en expresiones con una sola incógnita. Una razón fija únicamente la proporción, así que se introduce un multiplicador $k$:

   $\text{adultos}=9k,\qquad \text{niños}=4k.$

   Usar dos incógnitas independientes dejaría el sistema indeterminado; el multiplicador es lo que hace que una sola ecuación baste.

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   Escribir la situación después de las ventas adicionales. Solo cambia la cantidad de adultos:

   $\text{adultos}=9k+20,\qquad \text{niños}=4k.$

3. 3

   Igualar la nueva razón a 8 : 3.

   $\frac{9k+20}{4k}=\frac{8}{3}.$

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   Multiplicar en cruz y despejar k.

   $3(9k+20)=8(4k)\ \Longrightarrow\ 27k+60=32k\ \Longrightarrow\ 5k=60\ \Longrightarrow\ k=12.$

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   Volver a las cantidades reales de boletos.

   $\text{adultos antes}=9(12)=108,\qquad \text{niños}=4(12)=48,$
   $\text{adultos después}=108+20=128.$

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   Comprobar las dos razones. Antes: $108:48$, y al dividir ambos entre $12$ queda $9:4$ ✓. Después: $128:48$, y al dividir ambos entre $16$ queda $8:3$ ✓. La proporción de adultos subió de $\tfrac{9}{13}$ a $\tfrac{8}{11}$ del total de boletos, coherente con haber añadido solo adultos.