En el plano xy una parábola tiene vértice (9, −14) y corta al eje x en dos puntos. Si su ecuación se escribe como y = ax² + bx + c, ¿qué valores puede tomar a + b + c?

Step-by-step solution

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   Reconocer qué significa a + b + c. Sustituir $x=1$ en $y=ax^2+bx+c$ da $a(1)+b(1)+c=a+b+c$. Así que

   $a+b+c=y(1),$

   la altura de la parábola en $x=1$. Nunca hace falta hallar $b$ y $c$ por separado — esa identidad es todo el atajo.

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   Escribir la parábola en forma canónica. Con vértice $(9,-14)$,

   $y=a(x-9)^{2}-14.$

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   Evaluar en x = 1.

   $a+b+c=y(1)=a(1-9)^{2}-14=64a-14.$

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   Fijar el signo de a a partir de las dos intersecciones con el eje x. El vértice está en $y=-14$, por debajo del eje $x$. Una parábola cuyo punto más bajo queda por debajo del eje solo puede cortarlo dos veces si abre hacia arriba, así que

   $a>0.$

   (Si $a<0$ el vértice sería el máximo, y toda la curva se quedaría en $y=-14$ o por debajo, sin tocar nunca el eje.)

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   Convertir la restricción sobre a en una restricción sobre la suma. Como $a>0$,

   $64a>0\quad\Longrightarrow\quad a+b+c=64a-14>-14.$

   Así que cualquier número estrictamente mayor que $-14$ es alcanzable, y ningún número $\le -14$ lo es.

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   Confirmar con una parábola concreta. Tomando $a=1$: $y=(x-9)^2-14=x^2-18x+67$, de modo que $a+b+c=1-18+67=50=64(1)-14$ ✓. Tiene vértice $(9,-14)$ y raíces $9\pm\sqrt{14}$ — dos cortes con el eje $x$, tal como se pedía. Tomando en cambio $a=\tfrac{1}{64}$ resulta $a+b+c=-13$, lo que muestra que también se alcanzan valores apenas por encima de $-14$.