Resuelve (1+x)³⁶ + (1+x)³⁵ + (1+x)³⁴ + (1+x)³³ + (1+x)³² + (1+x)³¹ + (1+x)³⁰ + (1+x)²⁹ + (1+x)²⁸ + (1+x)²⁷ = 70/3.

Step-by-step solution

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   Sustituye para dejar a la vista la estructura geométrica. Sea $y = 1 + x$. Los diez términos son potencias consecutivas de $y$, así que

   $y^{27} + y^{28} + \cdots + y^{36} = \frac{70}{3}$

   Escribirlo en $y$ convierte una suma de aspecto disperso en una serie geométrica y elimina cualquier tentación de desarrollar los binomios.

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   Saca factor común la potencia más baja y suma la serie.

   $y^{27}\left(1 + y + y^2 + \cdots + y^9\right) = y^{27}\cdot\frac{y^{10} - 1}{y - 1} = \frac{70}{3}, \qquad y \ne 1$

   El paréntesis es una serie geométrica de $10$ términos con razón $y$.

3. 3

   Localiza la raíz evaluando en y = 1. En $y = 1$ cada término vale $1$, así que el miembro izquierdo vale exactamente $10$. Como $\frac{70}{3} \approx 23.33 > 10$ y la suma es estrictamente creciente para $y > 0$ (cada $y^n$ es creciente), la raíz debe cumplir $y > 1$, es decir $x > 0$. La monotonía estricta garantiza además que hay exactamente una raíz así.

4. 4

   Acótala numéricamente. Evaluando $f(y) = \sum_{n=27}^{36} y^n$:

   $f(1.02) \approx 18.69, \qquad f(1.025) \approx 21.82, \qquad f(1.03) \approx 25.46$

   Así que la raíz está entre $1.025$ y $1.03$, un poco por debajo del punto medio, porque $f$ crece muy deprisa (la derivada cerca de $y = 1.03$ vale aproximadamente $785$).

5. 5

   Afina y vuelve a la variable original. Bisecando hasta la precisión completa se obtiene

   $y \approx 1.0271668 \ \Longrightarrow \ x = y - 1 \approx 0.0271668$

   Comprobación: $\sum_{n=27}^{36}(1.0271668)^n = 23.333346$, que coincide con $\frac{70}{3} = 23.333333$ hasta seis cifras significativas. Redondear el valor intermedio $y$ a tres decimales ($1.028$) ya llevaría la suma hasta cerca de $23.94$, así que conserva las cifras extra.

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   Observa que no hay forma cerrada. La ecuación se reduce a un polinomio de grado $36$ sin raíces racionales y sin estructura ciclotómica, de modo que la respuesta es una raíz numérica. El argumento de monotonía solo cubre $y>0$: para $y<0$ las potencias impares se vuelven negativas y la suma deja de ser creciente. Barrerla en $[-3,3]$ revela un segundo cambio de signo — $f(-1.11)=14.59$ y $f(-1.15)=61.67$ encierran $70/3$ — y la bisección da $y\approx-1.1226359$, es decir $x\approx-2.1226359$. Así que la ecuación tiene dos soluciones reales; quedarse en la positiva pierde la mitad de la respuesta.