Simplificar la expresión (2 - (a - b)/(a + b)) por (3 - (a + 2b)/(a + b)) elevado a -1, por (2a + b), menos 3b.

Step-by-step solution

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   Leer la estructura antes de tocar nada. Hay tres factores multiplicados entre sí y, al final, se resta $3b$. El factor central lleva un exponente $-1$, que significa simplemente recíproco: no es una resta y no se distribuye dentro del paréntesis. El plan es, entonces: simplificar cada paréntesis a una sola fracción, invertir el segundo, multiplicar y solo después ocuparse del $-3b$ final.

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   Convertir el primer paréntesis en una sola fracción. Se escribe el $2$ con denominador $a+b$ para poder combinar los dos términos:

   $2-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2(a+b)-(a-b)}{a+b}=\frac{2a+2b-a+b}{a+b}=\frac{a+3b}{a+b}.$

   El signo menos delante de la fracción debe alcanzar a los dos términos de $a-b$, y de ahí sale el $+b$.

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   Hacer lo mismo con el segundo paréntesis y luego invertirlo. Usando $3=\dfrac{3(a+b)}{a+b}$:

   $3-\frac{a+2b}{a+b}=\frac{3a+3b-a-2b}{a+b}=\frac{2a+b}{a+b}.$

   El exponente $-1$ lo pone del revés:

   $\left(\frac{2a+b}{a+b}\right)^{-1}=\frac{a+b}{2a+b}.$

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   Multiplicar los tres factores y cancelar. Ahora todo encaja para la cancelación: $a+b$ se cancela con $a+b$, y $2a+b$ se cancela con el tercer factor:

   $\frac{a+3b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2a+b}\cdot(2a+b)=a+3b.$

   Esta cancelación es exactamente la razón de que el problema se construyera con esos numeradores concretos.

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   Restar el término sobrante. El $-3b$ final elimina el $3b$ que había sobrevivido:

   $a+3b-3b=a.$

   Así que toda la expresión es simplemente $a$. Conviene enunciar las restricciones que arrastraba la forma original: hace falta $a+b\neq 0$ (por las fracciones) y $2a+b\neq 0$ (el exponente $-1$ necesita una base no nula). Una comprobación numérica con $a=-\tfrac{37}{5}$ y $b=\tfrac{38}{9}$ devuelve $-\tfrac{37}{5}$, que coincide con $a$.